Question

（2013•鷹潭一模）已知點(diǎn)P是橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的點(diǎn)，橢圓短軸長(zhǎng)為2，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，|OP|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

（點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程及離心率；
（Ⅱ）直線y=x與橢圓C在第一象限交于A點(diǎn)，若橢圓C上兩點(diǎn)M、N使

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用橢圓短軸長(zhǎng)為2，求b．利用，|OP|=

10

2

，

PF1

•

PF2

=

1

2

，可求c，進(jìn)而求出橢圓方程和離心率．
（Ⅱ）將直線方程和橢圓方程聯(lián)立，進(jìn)行消元，轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題，然后利用根與系數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)P（x₀，y₀），F(xiàn)₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）由|OP|=

10

2

，得x02+y02=

5

2

，…（1分）
由

PF1

•

PF2

=

1

2

得(-c-x0，-y0)?(c-x0，-y0)=

1

2

，即x02+y02-c2=

1

2

…（2分）
所以c=

2

，又因?yàn)槎梯S長(zhǎng)為2，所以b=1，所以離心率e=

c

a

=

6

3

，…（4分）
橢圓C的方程為：

x2

3

+y2=1；…（6分）
（Ⅱ）解法一：由

y=x x2 3 +y2=1

得A(

3

2

，

3

2

)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+m，
聯(lián)立方程組

y=kx+m x2 3 +y2=1

消去y得：（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0…（7分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x1+x2=-

6km

1+3k2

，x1x2=

3m2-3

1+3k2

…（8分）
所以y1+y2=k(x1+x2)+2m=

2m

1+3k2

．

因?yàn)?span id="2we2flo" class="MathJye">

OM

+

ON

=λ

OA

，λ∈（0，2），所以x1+x2=

3

2

λ，y1+y2=

3

2

λ，
得kMN=-

1

3

，m=

3

3

λ，于是x1+x2=

3m

2

，x1x2=

9m2-9

4

…（9分）
所以|MN|=

1+(- 1 3 )2

|x1-x2|=

10

3

(x1+x2)2-4x1x2

=

10 ? 4-3m2

2

…（10分）
又因?yàn)棣耍?，原點(diǎn)O到直線MN的距離為d=

3 10 m

10

   所以S△OMN=

1

2

|MN|d=

10 ? 4-3m2

4

?

3 10 m

10

S△OMN=

1

2

|MN|d=

10 ? 4-3m2

4

?

3 10 m

10

=

3 ? (4-3m2)3m2

4

≤

3

2

，
當(dāng)m=

6

3

，即λ=

2

時(shí)等號(hào)成立，S_△OMN的最大值為

3

2

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)，以及直線與橢圓的位置關(guān)系．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．