Question

已知下列4個(gè)命題：
①若f（x）為減函數(shù)，則-f（x）為增函數(shù)；
②若f（x）為增函數(shù)，則函數(shù)g(x)=

1

f(x)

在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；
③若函數(shù)f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是1＜m＜2；
④函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上都是奇函數(shù)，則f（x）•g（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）是偶函數(shù)．
其中正確命題的序號是

①，④

．

Answer 1

分析：①②可以運(yùn)用減函數(shù)定義證明；
③是分段函數(shù)，需要保證兩段都是增的，同時(shí)需要上一段的最小值大于下一段的最大值；
④運(yùn)用函數(shù)奇偶性的定義證明．

解答：解：①因?yàn)閒（x）為減函數(shù)，則對其定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）＞f（x₂），
令g（x）=-f（x），則g（x₁）-g（x₂）=-f（x₁）-[-f（x₂）]=f（x₂）-f（x₁）＜0，所以-f（x₁）＜-f（x₂），所以-f（x）為增函數(shù)，所以①正確；
②因?yàn)閒（x）為增函數(shù)，則對其定義域內(nèi)的任意x₁，x₂，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，都有f（x₁）＜f（x₂），
則g（x₁）-g（x₂）=

1

f(x1)

-

1

f(x2)

=

f(x2)-f(x1)

f(x1)f(x2)

，因?yàn)閒（x₁）＜f（x₂），所以f（x₂）-f（x₁）＞0，
當(dāng)f（x₁）與f（x₂）同號時(shí)

1

f(x1)

-

1

f(x2)

＞0，g（x₁）＞g（x₂），函數(shù)為減函數(shù)，反之，函數(shù)為增函數(shù)，所以②不正確；
③f(x)=

(2-m)+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)x+m-1(x≥1)

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=

(2-m)x+2m(x＜1) (m-1)|x+1|(x≥1)

在R上是增函數(shù)，
所以

2-m＞0 m-1＞0 2-m+2m≤m-1+m-1

解得：m∈∅，所以③不正確；
④函數(shù)f（x），g（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）上都是奇函數(shù)，則f（-x）•g（-x）=-f（x）•[-g（x）]=f（x）•g（x），
所以f（x）•g（x）在區(qū)間[-a，a]（a＞0）是偶函數(shù)．
所以④正確．
故答案為①④．

點(diǎn)評：本題考查了命題真假的判斷，考查了判斷函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的方法，結(jié)論是：函數(shù)f（x）與-f（x）在相同區(qū)間上單調(diào)性相反，在相同定義域內(nèi)，兩個(gè)奇函數(shù)的乘積為偶函數(shù)．