Question

已知a＞0，且a≠1，f(x)=

1

x

-ax，當(dāng)x∈(

1

2

，+∞)時，均有f(x)＜

1

2

，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：先通過移項(xiàng)分離成兩個函數(shù)，然后問題就轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最大值小于另一個函數(shù)的最小值的問題，然后分底數(shù)大于0小于1和大于1兩種情況進(jìn)行求解，綜合兩種情況就可得出a的范圍．

解答：解：由題意即：x∈(

1

2

，+∞)，

1

x

-ax＜

1

2

恒成立
?∈(

1

2

，+∞)，

1

x

-

1

2

＜ax   ①恒成立
令h（x）=

1

x

-

1

2

，g（x）=a^x
問題轉(zhuǎn)化為h（x）的最大值小于g（x）的最小值
∵h(yuǎn)（x）=

1

x

-

1

2

在x∈(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x=

1

2

時，h(x)max=2-

1

2

=

3

2

當(dāng)0＜a＜1時，g（x）在x∈(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞減，∴0＜ax＜a

1

2

，∵a

1

2

＜1＜

3

2

，此時不等式①不能恒成立
當(dāng)a＞1時，g（x）在x∈(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，∴ax＞a

1

2

，要使①恒成立，則 a

1

2

≥

3

2

，∴a≥

9

4

綜上所述，a≥

9

4

故答案為：[

9

4

，+∞)

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，一般方法是分離常數(shù)之后構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題，但本題無法分離常數(shù)，所以分離為兩個常見函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值關(guān)系問題．