Question

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=AB=1，M是PB的中點．
（1）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（2）求面AMC與面PMC所成銳二面角的大小的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分別求出兩條直線所在的向量，利用向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為兩條直線的夾角．
（2）根據(jù)題意分別求出兩個平面的法向量，利用向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角的余弦值，然后再轉(zhuǎn)化為二面角的平面角的余弦值．
解答：解：因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
不妨設(shè)AD=1，則各點坐標(biāo)為A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（0，1，
（1）因，
，
所以．
（2）由題得：平面PMC的法向量為，
所以
解得：
同理設(shè)平面AMC的法向量為，
所以
解得：
故，
即所求銳二面角的余弦值為．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉幾何體的結(jié)構(gòu)特征，有利于建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的有關(guān)運算解決空間角與空間距離等問題．