Question

已知函數(shù)，
（Ⅰ）若a＞0，，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π）時，f（x）的圖象與x軸有四個不同的交點，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用二倍角公式將f（x）化為asin²x+（3-a）sinx-2a+6，通過換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，通過討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，求出時f（x）的最小值；
（II）將已知條件轉(zhuǎn)化為y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有兩個不同的解，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，列出a滿足的不等式，解不等式求出a的范圍．
解答：解：（I）函數(shù)
=asin²x+（3-a）sinx-2a+6
令sinx=t，則有t∈[0，1]，
所以y=at²+（3-a）t-2a+6，t∈[0，1]，
對稱軸t=
當0＜a＜3時，y=at²+（3-a）t-2a+6在[0，1]遞增，
所以當t=0時，函數(shù)最小值為-2a+6；
當a≥3時，t=∈[0，1]，，所以當t=函數(shù)有最小值
總之，函數(shù)的最小值為
當0＜a＜3時，最小值為-2a+6；
當a≥3時，最小值．
（II）因為x∈[0，2π）時，f（x）的圖象與x軸有四個不同的交點，
等價于y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有兩個不同的解，
所以，
解得．
點評：解決二次函數(shù)的最值問題，應(yīng)該判斷出對稱軸與所在區(qū)間的相對位置關(guān)系，進一步判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值；解決二次方程的實根分布問題，應(yīng)該畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象，從對稱軸、開口方向、區(qū)間端點函數(shù)值的符號三個方面，結(jié)合圖象寫出限制條件．