Question

拋物線y²=2px（p＞0）上任一點(diǎn)Q到其內(nèi)一點(diǎn)P（3，1）及焦點(diǎn)F的距離之和的最小值為4．
（1）求拋物線的方程；
（2）設(shè)動直線y=kx+b與拋物線交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，且|y₁-y₂|的值為定值a（a＞0），過弦AB的中點(diǎn)M作平行于拋物線的軸的直線交拋物線于點(diǎn)D，求△ABD的面積．

Answer 1

分析：（1）如圖所示：過點(diǎn)P作PM⊥l交準(zhǔn)線l、拋物線分別于點(diǎn)M、Q，根據(jù)拋物線的定義得|QF|=|QM|，可知：當(dāng)三點(diǎn)P、Q、M共線時，|QF|+|QP|Q取得最小值．
（2）將直線與拋物線的方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)x得到關(guān)于另一個未知數(shù)y的一元二次方程，據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)，進(jìn)而求得D的坐標(biāo)，于是求出|DM|．再根據(jù)|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

可計算出，另一方面|y₁-y₂|=a，得出一個關(guān)系式，進(jìn)而計算出面積．

解答：解：（1）如圖所示，由拋物線定義，|QF|+|QP|≥3+

p

2

=4，∴p=2，
∴拋物線的方程為y²=4x．
（2）如下圖：由

y2=4x y=kx+b

得y2-

4

k

y+

4b

k

=0，
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

．
∴M(

2-kb

k2

，

2

k

)，D(

1

k2

，

2

k

)．
∴|DM|=

1-kb

k2

．
∴S△ABD=

1

2

|DM||y1-y2|=

1

2

•

1-kb

k2

•a．
∵|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

( 4 k )2- 16b k

=

16(1-kb) k2

=a，
∴S△ABD=

1

2

•

a2

16

•a=

a3

32

．

點(diǎn)評：正確理解拋物線的定義，掌握直線與圓錐曲線相交問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的一般方法是解題的關(guān)鍵．