Question

1)已知函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镽，且當(dāng)x∈R時(shí)，f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，求證y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱；

(2)若函數(shù)y＝log₂|ax－1|的圖象的對(duì)稱軸是x＝2，求非零實(shí)數(shù)a的值.

Answer 1

(1)設(shè)P(x₀，y₀)是y＝f(x)圖象上任意一點(diǎn)，

則y₀＝f(x₀).

又P點(diǎn)關(guān)于x＝m的對(duì)稱點(diǎn)為P′，則P′的坐標(biāo)為

(2m－x₀，y₀).由已知f(m＋x)＝f(m－x)，得

f(2m－x₀)＝f(m＋(m－x₀))

＝f(m－(m－x₀))＝f(x₀)＝y(tǒng)₀.即

P′(2m－x₀，y₀)在y＝f(x)的圖象上.

∴y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱.

(2)對(duì)定義域內(nèi)的任意x，有f(2－x)＝f(2＋x)恒成立.

∴|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|恒成立，

即|－ax＋(2a－1)|＝|ax＋(2a－1)|恒成立.

又∵a≠0，∴2a－1＝0，得 a＝.

【方法技巧】函數(shù)對(duì)稱問(wèn)題解題技巧

(1)證明函數(shù)圖象的對(duì)稱性，只需證明其圖象上的任意一點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心(對(duì)稱軸)的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖象上即可.

(2)①若f(a＋x)＝f(a－x)，x∈R恒成立，

則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱；

②若f(a＋x)＝－f(a－x)，x∈R恒成立，

則y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,0)對(duì)稱.