Question

11．設(shè)點P在曲線y=lnx上，點Q在曲線y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）上，點R在直線y=x上，則|PR|+|RQ|的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 求出兩曲線對應(yīng)函數(shù)的導數(shù)，求得切線的斜率，由與直線y=x的平行，可得切點，由點到直線的距離公式可得最小值，進而得到所求和的最小值．

解答 解：函數(shù)y=lnx的導數(shù)為y′=$\frac{1}{x}$，
設(shè)曲線y=lnx與直線y=x的平行線相切的切點為（m，n），
可得$\frac{1}{m}$=1，即m=1，可得切點為（1，0），
此時PR的最小值為$\frac{|1-0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）的導數(shù)為y′=$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設(shè)曲線y=1-$\frac{1}{x}$（x＞0）與直線y=x的平行線相切的切點為（s，t），
可得$\frac{1}{{s}^{2}}$=1，即s=1，可得切點為（1，0），
此時RQ的最小值為$\frac{|1-0|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
則P，Q重合為（1，0），R為（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），
|PR|+|RQ|取得最小值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率，考查點到直線的距離公式的運用，考查最值的求法，屬于中檔題．