Question

拋物線y=x²（-2≤x≤2）繞y軸旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)如圖所示的旋轉(zhuǎn)體，在此旋轉(zhuǎn)體內(nèi)水平放入一個(gè)正方體，使正方體的一個(gè)面恰好與旋轉(zhuǎn)體的開(kāi)口面平齊，則此正方體的表面積是（　　）

• A、96-48

  3

• B、32
• C、24
• D、144-48

  5

Answer 1

分析：由題意畫(huà)出過(guò)正方體的兩條相對(duì)側(cè)棱的截面圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)a，然后根據(jù)A點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于4-a，利用拋物線方程與正方體的性質(zhì)建立關(guān)于a的等式，解出a=2，即可得到此正方體的表面積．

解答：解：作過(guò)正方體的兩條相對(duì)側(cè)棱的截面圖如圖，
設(shè)正方體AC₁的棱長(zhǎng)AA₁=a，則底面對(duì)角線AC=

2

a，
∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于

2

2

a，
結(jié)合拋物線方程可得A點(diǎn)縱坐標(biāo)：y=(

2

2

a)2=

1

2

a2，
根據(jù)題意可知A點(diǎn)縱坐標(biāo)為4-a．
∴

1

2

a2=4-a，解得a=2，
因此正方體的棱長(zhǎng)是2，表面積S=6×2²=24．
故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了正方體的性質(zhì)、拋物線的應(yīng)用等知識(shí)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，能夠正確作出該題的截面圖是解答該題的關(guān)鍵，屬中檔題．