Question

已知y=f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)y=f（x）的圖象在x=e處的切線方程；
（2）設(shè)實(shí)數(shù)a＞0，求函數(shù)F(x)=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值．
（3）證明對一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

Answer 1

分析：（1）欲求在點(diǎn)（1，1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（2）欲求函數(shù)F(x)=

f(x)

a

在[a，2a]上的最大值，只須利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，最后確定出最大值即可．
（3）原問題等價于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，  +∞))，下面只要證明左邊函數(shù)的最小值比右邊函數(shù)的最大值還大即可，由（2）可得左邊函數(shù)的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求出右邊函數(shù)的最大值，最后比較這兩個值的大小即得．

解答：解：（1）∵f（x）定義域?yàn)椋?，+∞）f'（x）=lnx+1
∵f（e）=e又∵k=f^/（e）=2
∴函數(shù)y=f（x）的在x=e處的切線方程為：y=2（x-e）+e，即y=2x-e
（2）F′(x)=

1

a

(lnx+1)令F′（x）=0得x=

1

e

當(dāng)x∈(0，  

1

e

)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈(

1

e

， +∞)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調(diào)遞增．
∴F（x）在[a，2a]上的最大值F_max（x）=max{F（a），F(xiàn)（2a）}
∵F(a)-F(2a)=lna-2ln2a=ln

1

4a

∴當(dāng)0＜a≤

1

4

時，F(xiàn)（a）-F（2a）≥0，F(xiàn)_max（x）=F（a）=lna
當(dāng)a＞

1

4

時，F(xiàn)（a）-F（2a）＜0，F(xiàn)_min（x）=F（2a）=2ln2a
（3）問題等價于證明xlnx＞

x

ex

-

2

e

(x∈(0，  +∞))，
由（2）可知f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是-

1

e

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

1

e

時取得．
設(shè)m(x)=

x

ex

-

2

e

(x∈(0，+∞))，則m′(x)=

1-x

ex

，
易得[m(x)]max=m(1)=-

1

e

，
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時取到，從而對一切x∈（0，+∞），
都有lnx＞

1

ex

-

2

ex

成立．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)恒成立問題、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力和分類討論思想．屬于中檔題．