Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：1²-2²+3²-4²+…+（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）（n∈N^*）

Answer 1

分析：用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題的步驟是：第一步，驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．關(guān)鍵是第二步中要充分用上歸納假設(shè)的結(jié)論，否則會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1²-2²=-3，右邊=-1×（2+1）=-3，
故左邊=右邊，
∴當(dāng)n=1時(shí)，等式成立；
（2）假設(shè)n=k時(shí)，等式成立，
即1²-2²+3²-…+（2k-1）²-（2k）²=-k（2k+1）成立，
那么n=k+1時(shí)，左邊=1²-2²+3²-…+（2k+1）²-（2k+2）²

=-k(2k+1)+[2(k+1)-1]2-[2(k+1)]2

=-k(2k+1)+(2k+1)2-4(k+1)2

=(2k+1)[(2k+1)-k]-4(k+1)2

=（k+1）（-2k-3）
=-（k+1）[2（k+1）+1]
綜合（1）、（2）可知等式1²-2²+3²-4²++（2n-1）²-（2n）²=-n（2n+1）對(duì)于任意正整數(shù)都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的思想，應(yīng)用中要注意的是要用上歸納假設(shè)．屬于基礎(chǔ)題．