Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)任意n∈N^*，有n，a_n，S_n成等差數(shù)列．
（Ⅰ）記數(shù)列b_n=a_n+1（n∈N^*），求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列．
（Ⅱ）數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求滿足

1

17

＜

Tn+n+2

T2n+2n+2

＜

1

7

的所有n的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）得出數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系確定出數(shù)列相鄰項(xiàng)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，然后利用整體思想和等比數(shù)列的定義證明出數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式選擇合適的方法求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為T_n是解決本題的關(guān)鍵，對(duì)所解決的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化化簡(jiǎn)進(jìn)而確定出滿足題意的所有n的值．

解答：解：
（Ⅰ）證明：S_n=2a_n-n，S_n+1=2a_n+1-（n+1）?a_n+1=2a_n+1-2a_n-1?a_n+1=2a_n+1，

bn+1

bn

=

an+1+1

an+1

=

2an+2

an+1

=2；
又由S₁=a₁=2a₁-1?a₁=1
所以數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
（Ⅱ）解：b_n=a_n+1=2ⁿ，a_n=2ⁿ-1，
可以得出T_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
從而

1

17

＜

Tn+n+2

T2n+2n+2

=(

1

2

)n＜

1

7

所以n的值為3，4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，考查等比數(shù)列的判定方法，考查整體思想的運(yùn)用，分析問題解決問題的方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力，屬于數(shù)列中的基本題型．