Question

已知橢圓的長軸為4，且點(diǎn)在該橢圓上．
（I）求橢圓的方程；
（II）過橢圓右焦點(diǎn)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知可求，a=2，由點(diǎn)在該橢圓上，代入可求b，從而可求橢圓的方程
（II）AB為直徑的圓過原點(diǎn)??x₁x₂+y₁y₂=0，從而考慮設(shè)直線方程，聯(lián)立直線于橢圓方程進(jìn)行求解即可．
解答：解：（I）由題意2a=4，a=2
∵點(diǎn)在該橢圓上，∴  解可得，b²=1
∴所求的橢圓的方程為
（II）由（I）知c²=a²-b²=3∴，橢圓的右焦點(diǎn)為（，0）
因?yàn)锳B為直徑的圓過原點(diǎn)，所以
若直線的斜率不存在，則直線AB的方程為x=交橢圓于兩點(diǎn)
不合題意
若直線的斜率存在，設(shè)斜率為k，則直線AB的方程為
由可得
由直線AB過橢圓的右焦點(diǎn)可知△＞0
設(shè)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）
則
又==
由==0可得
所以直線l的方程為
點(diǎn)評：本題主要考查了利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程及直線于橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，常見的解題思想是聯(lián)立直線方程與曲線方程，通過方程的根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解．