精英家教網(wǎng)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),直線l為圓O:x2+y2=b2的一條切線,記橢圓C的離心率為e.
(1)若直線l的傾斜角為
π
3
,且恰好經(jīng)過(guò)橢圓的右頂點(diǎn),求e的大;
(2)在(1)的條件下,設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為A,左焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)A與AF垂直的直線交x軸的正半軸于B點(diǎn),過(guò)A、B、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l:x+
3
y+3=0相切,求橢圓方程.
分析:(1)設(shè)出直線l與圓O的切點(diǎn)為C,橢圓的右頂點(diǎn)為D,根據(jù)切線性質(zhì)得到三角形OCD為直角三角形,且得到OC和OD及角ODC的度數(shù),利用勾股定理及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)a2=b2+c2表示出CD,根據(jù)余弦函數(shù)的定義以及離心率公式即可求出e的值;
(2)根據(jù)(1)求出的離心率及a2=b2+c2設(shè)出a和b,由字母m寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從而表示出點(diǎn)A的坐標(biāo),得到AF的長(zhǎng),求出直線AF的斜率,進(jìn)而得到∠AFB等于60°,根據(jù)直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半由AF的長(zhǎng)表示出FB的長(zhǎng),從而得到點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出FB中點(diǎn)G的坐標(biāo),然后根據(jù)直角三角形外接圓的圓心為斜邊的中點(diǎn),得到外接圓的半徑,由直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑,利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出點(diǎn)G到直線l的距離d,讓d等于表示出的半徑,列出關(guān)于m的方程,求出方程的解即可得到m的值,從而確定出橢圓的方程.
解答:解:(1)如圖,設(shè)直線l與圓O相切于C點(diǎn),橢圓的右頂點(diǎn)為D,則由題意知△OCD為直角三角形,
且OC=b,OD=a,∠ODC=
π
3
,
∴CD=
OD2-OC2
=
a2-b2
=c(c為橢圓的半焦距),
∴橢圓的離心率e=
c
a
=cos
π
3
=
1
2

(2)由(1)知,
c
a
=
1
2

∴設(shè)a=2m(m>0),則b=
3
m,
∴橢圓方程為
x2
4m2
+
y2
3m2
=1.
∴A(0,
3
m),
∴AF=2m,kAF=
3

∴∠AFB=60°,
在Rt△AFB中,有FB=4m,
∴B(3m,0),設(shè)FB的中點(diǎn)為G,則G(m,0),
∵△AFB為直角三角形,
∴過(guò)A、B、F三點(diǎn)的圓的圓心為斜邊FB的中點(diǎn)G,且半徑為2m,
∵圓G與直線l:x+
3
y+3=0相切,
|m+3|
1+3
=2m,
∵m是大于0的常數(shù),
∴m=1,故所求的橢圓方程為
x2
4
+
y2
3
=1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì),直線與圓的位置關(guān)系及直角三角形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力.根據(jù)第一問(wèn)的結(jié)論設(shè)出橢圓的方程是解本題的關(guān)鍵,求解方法是待定系數(shù)法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
1
2
,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,
3
2
)

(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)F是橢圓C的左焦,判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的短軸長(zhǎng)為2
3
,右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn),點(diǎn)D(-4,0),且滿足
DA
DB
,若λ∈[
3
8
,
1
2
],求直線AB的斜率的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,
3
2
),且離心率e=
3
2

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)B(-1,0)能否作出直線l,使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),且以MN為直徑的圓經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O.若存在,求出直線l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•房山區(qū)二模)已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是4,離心率為
1
2

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),且M,N不與橢圓的頂點(diǎn)重合,若以MN為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)A,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
2
2
,設(shè)過(guò)右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,過(guò)A,B作直線x=2的垂線AP,BQ,垂足分別為P,Q.記λ=
AP+BQ
PQ
,若直線l的斜率k≥
3
,則λ的取值范圍為
 

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