Question

已知函數(shù)f（x）=（x-1）²-aln|x-1|（a∈R，a≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=8時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）
（1）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）=（x-1）²-8ln（x-1），f′(x)=2(x-1)-

8

x-1

=

2(x-1)2-8

x-1

．
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（3，+∞）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＞1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，3）．
（2）當(dāng)x＜1時(shí)，f（x）=（x-1）²-8ln（1-x），
f′(x)=2(x-1)+

8

1-x

=

-2(x-1)2+8

1-x

，
由f'（x）＞0得2（x-1）²-8＜0，解得-1＜x＜3，
注意到x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1）．
由f'（x）＜0得2（x-1）²-8＞0，解得x＞3或x＜-1，
由x＜1，所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1）．
綜上所述，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-1，1），（3，+∞）；
單調(diào)遞減區(qū)間是（-∞，-1），（1，3）．（5分）

（Ⅱ）當(dāng)x∈[e+1，e²+1]時(shí)，f（x）=（x-1）²-aln（x-1），
所以f′(x)=2(x-1)-

a

x-1

=

2(x-1)2-a

x-1

=

2x2-4x+2-a

x-1

，
設(shè)g（x）=2x²-4x+2-a．
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，有△＜0，此時(shí)g（x）＞0，所以f'（x）＞0，f（x）在[e+1，e²+1]上單調(diào)遞增．
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=16-4×2（2-a）=8a＞0．
令f'（x）＞0，即2x²-4x+2-a＞0，解得x＞1+

2a

2

或x＜1-

2a

2

（舍）；
令f'（x）＜0，即2x²-4x+2-a＜0，解得1-

2a

2

＜x＜1+

2a

2

．
①若1+

2a

2

≥e2+1，即a≥2e⁴時(shí)，f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]單調(diào)遞減，
所以f（x）_min=f（e²+1）=e⁴-2a．
②若1+e＜1+

2a

2

＜e2+1，即2e²＜a＜2e⁴時(shí)，f（x）在區(qū)間[1+e，1+

2a

2

]上單調(diào)遞減，
在區(qū)間[1+

2a

2

，1+e2]上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(1+

2a

2

)=

a

2

-aln

2a

2

．
③若1+

2a

2

≤e+1，即0＜a≤2e²時(shí)，f（x）在區(qū)間[e+1，e²+1]單調(diào)遞增，
所以f（x）_min=f（e+1）=e²-a．
綜上所述，當(dāng)a＜0或0＜a≤2e²時(shí)，f（x）_min=f（e+1）=e²-a；
當(dāng)2e²＜a＜2e⁴時(shí)，f(x)min=

a

2

-aln

2a

2

；
當(dāng)a≥2e⁴時(shí)，f（x）_min=e⁴-2a．（13分）