Question

已知函數(shù)f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1．
（1）求f（x）的最小正周期和最大值；
（2）求f（x）在[0，

π

2

]上的值域．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)f（x）=2sin²x+2

3

sinxcosx+1化為（x）=2sin（2x-

π

6

）+2，即可求得其周期和最大值．
（2）由x∈[0，

π

2

]可得2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可求f（x）的值域．

解答：解：（1）因?yàn)?span id="1szqr5l" class="MathJye">f(x)=2sin2x+2

3

sinxcosx+1=1-cos2x+

3

sin2x+1…（2分）=2sin(2x-

π

6

)+2…（4分）
所以f（x）的最小正周期T=

2π

ω

=

2π

2

=π，最大值為4．…（7分）
（2）∵x∈[0，

π

2

]
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，…（9分）
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤1 …（12分）
所f（x）在[0，

π

2

]上的值域[1，4]…（14分）

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，著重考查降冪公式與輔助角公式的應(yīng)用及正弦函數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，屬于中檔題．