Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD．
（1）若底面ABCD為菱形，∠DAB=60°，PA=PD，求證：PB⊥AD；
（2）若底面ABCD為平行四邊形，E為PC的中點，在DE上取點F，過AP和點F的平面與平面BDE的交線為FG，求證：AP∥FG．

Answer 1

分析：（1）證明線線垂直，只需證明線面垂直，即證AD⊥面PBH；
（2）利用線面平行的判定，證明線面平行，再利用線面平行證明線線平行．

解答：證明：（1）取AD的中點為H，連接BH，PH
∵PA=PD，∴PH⊥AD
在菱形ABCD中，∠DAB=60°，得BH⊥AD
∵PH?面PBH，BH?面PBH，PH∩BH=H，
∴AD⊥面PBH
∵PB?面PBH，∴PB⊥AD；
（2）連AC，設AC與BD交點為O，連OE
在平行四邊形ABCD中，O是AC的中點，點E是PC的中點，所以OE∥AP
因為AP?面BDE，OE?面BDE，所以AP∥面BDE
因為AP?面APFG，面APFG∩面BDE=FG
所以AP∥FG

點評：本題考查線線垂直，線線平行，解題的關鍵是證明線面垂直、線面平行，屬于中檔題．