Question

已知函數f（x）=

1

x

+lnx．
（1）求函數f（x）在（2，f（2））處的切線方程；
（2）若g（x）=f（x）+mx在[1，+∞）上為單調函數，求實數m的取值范圍；
（3）若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：計算題,導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，求出切線的斜率和切點，再由點斜式方程，即可得到切線方程；
（2）求出導數，由條件g（x）在其定義域內為單調函數，則mx²+x-1≥0或者mx²+x-1≤0在[1，+∞）恒成立．運用分離參數，求出右邊的最值即可；
（3）構造F（x）=kx-lnx-

1

x

-

2e

x

，則轉化為：若在[1，e]上存在x₀，使得F（x₀）＞0，求實數k的取值范圍．
討論k＞0，k≤0，運用導數判斷單調性，即可得到．

解答： 解：（1）函數f（x）=

1

x

+lnx的導數
f′（x）=-

1

x2

+

1

x

，
則在（2，f（2））處的切線斜率為：f′（2）=

1

2

-

1

4

=

1

4

，
切點為（2，ln2+

1

2

），
則切線方程為：y-（ln2+

1

2

）=

1

4

（x-2），
即有y=

1

4

x+ln2；
（2）g（x）=f（x）+mx=

1

x

+lnx+mx，
g′（x）=-

1

x2

+

1

x

+m=

mx2+x-1

x2

，
∵g（x）在其定義域內為單調函數，
∴mx²+x-1≥0或者mx²+x-1≤0在[1，+∞）恒成立．
∴m≥

1-x

x2

或者∴m≤

1-x

x2

在[1，+∞）恒成立．
由于-

1

4

≤

1-x

x2

≤0，
∴m的取值范圍是m≤-

1

4

，或m≥0；
（3）構造F（x）=kx-lnx-

1

x

-

2e

x

，
則轉化為：若在[1，e]上存在x₀，使得F（x₀）＞0，求實數k的取值范圍．
①當k≤0時，1≤x≤e，F(xiàn)（x）＜0在[1，e]恒成立，
則在[1，e]上不存在x₀，使得kx₀-f（x₀）＞

2e

x0

成立；
②當k＞0，F(xiàn)′（x）=k+

1+2e

x2

-

1

x

=

kx2+1+e+(e-x)

x2

，
由于1≤x≤e，則e-x＞0，則F′（x）＞0在[1，e]恒成立．
故F（x）在[1，e]遞增，F(xiàn)（x）_max=F（e）=ke-3-

1

e

，
只要ke-3-

1

e

＞0，解得k＞

3e+1

e2

，
綜上，k的取值范圍是（

3e+1

e2

，+∞）．

點評：本題考查導數的運用：求切線方程，求單調性和最值，考查構造函數，運用導數判斷單調性，再求最值的方法，考查運算能力，屬于中檔題．