Question

如圖，已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左右兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P是橢圓上一點，且在x軸上方，PF₁⊥F₁F₂，PF₂=3PF₁，過P，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂三點的圓C₂截y軸的線段長為6，過點F₂做直線PF₂的垂線交直線l：x=4

2

于點Q
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）證明：直線PQ與橢圓C₁只有一個交點；
（Ⅲ）若過直線l：x=4

2

上任意一點A引圓C₂的兩條切線，切點分別為M，N，試探究直線MN是否過定點？若過定點，請求出該定點；否則，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：壓軸題,存在型

分析：對第（1）問，由已知條件尋找PF₁或PF₂與圓的直徑的關(guān)系，再利用橢圓的定義，可得a²，b²；
對第（2）問，設(shè)出Q點的坐標(biāo)，由PF₂⊥QF₂得Q的坐標(biāo)，從而得直線PQ的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，只需證判別式△=0即可；
對第（3）問，先設(shè)出A點的坐標(biāo)，再設(shè)法用此坐標(biāo)建立直線MN的方程，根據(jù)直線方程的形式特點可獲取定點．

解答： 解：（Ⅰ）∵△PF₁F₂為直角三角形，∴斜邊PF₂為圓C₂的直徑．
設(shè)圓C₂與y軸交于點B，D，圓心為點C，
∵PF₁∥y軸，坐標(biāo)原點O為線段F₁F₂的中點，
∴圓心C₂即為PF₂與y軸的交點，從而BD也是圓C₂的直徑．
由題意知|BD|=|PF₂|=6=3|PF₁|，得|PF₁|=2，
根據(jù)橢圓的定義，有|PF₁|+|PF₂|=2a，則2a=2+6，得a²=16，
在直角△PF₁F₂中，由勾股定理有|F₁F₂|²=|PF₂|²-|PF₁|²，
即（2c）²=32，∴c²=8，從而b²=a²-c²=8，
故橢圓C₁的方程為

x2

16

+

y2

8

=1．
（Ⅱ）設(shè)Q(4

2

，y0)，易知P(-2

2

，2)，F2(2

2

 ，0)，
由F₂P⊥F₂Q，得

F2P

•

F2Q

=0，
即(-4

2

，2)•(2

2

，y0)=0，得y₀=8．
則PQ的斜率kPQ=

8-2

4 2 +2 2

=

2

2

，從而直線PQ的方程為y-2=

2

2

(x+2

2

)，
即y=

2

2

x+4，聯(lián)立

x2

16

+

y2

8

=1，消去y并整理得x2+4

2

x+8=0，
∵△=(4

2

)2-32=0，∴直線PQ與橢圓C₁相切，即直線PQ與橢圓C₁只有一個交點．
（Ⅲ）設(shè)切點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），A(4

2

，t)，
由（Ⅱ）知圓C₂的方程為x²+（y-1）²=9，即x²+y²-2y-8=0，
則切線AM的方程為x1x+y1y-2•

y1+y

2

-8=0，即x₁x+（y₁-1）y-y₁-8=0，
同理，切線AN的方程為x₂x+（y₂-1）y-y₂-8=0，
將A點坐標(biāo)分別代入AM，AN的方程中，得

4 2 x1+(y1-1)t-y1-8=0 4 2 x2+(y2-1)t-y2-8=0

，
于是M，N的坐標(biāo)都滿足方程4

2

x+(y-1)t-y-8=0，即4

2

x-y-8+(y-1)t=0，
根據(jù)兩點確定一條直線，MN的方程就是4

2

x-y-8+(y-1)t=0，
當(dāng)

y-1=0 4 2 x-y-8=0

即

x= 9 2 8 y=1

時，MN的方程對t∈R恒成立，
故直線恒過定點(

9 2

8

，1)．

點評：1．本題已知條件眾多，應(yīng)充分利用題中給出的信息，并注意信息與信息之間的聯(lián)系，另外，確定橢圓方程時，
不可忽略條件a²=b²+c²．
2．判斷直線與橢圓的位置關(guān)系時，常聯(lián)立直線與橢圓的方程，消去x或y，得到一個關(guān)于y或x的一元二次方程，根據(jù)判別式△的符號下結(jié)論．
3．直線與圓相切是直線與圓的一種很重要的位置關(guān)系，熟記一些常用的規(guī)律，可減少許多繁瑣的計算量，如過圓x²+y²+Dx+Ey+F=0上一點（x₀，y₀）的圓的切線方程為x0x+y0y+D•

x0+x

2

+E•

y0+y

2

+F=0，即x²用x₀x代，y²用y₀y代，x用

x0+x

2

代，y用

y0+y

2

代，此規(guī)律不僅適合于圓，也適合于橢圓，拋物線等．
4．判斷直線是否過定點，常從直線方程的形式入手，采用分離參數(shù)法處理．