已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0)滿足條件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n],如果存在,求出m,n的值;如果不存在,說明理由.
【答案】分析:(1)由方程ax2+bx-2x=0有等根,則△=0,得b,又由f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=-=1,得a,從而求得f(x).
(2)由f(x)=-(x-1)2+1≤1,知4n≤1,即n≤.由對(duì)稱軸為x=1,知當(dāng)n≤時(shí),f(x)在[m,n]上為增函數(shù).所以有,最后看是否滿足m<n≤即可.
解答:解:(1)∵方程ax2+bx-2x=0有等根,∴△=(b-2)2=0,得b=2.
由f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為x=-=1,得a=-1,故f(x)=-x2+2x.
(2)∵f(x)=-(x-1)2+1≤1,∴4n≤1,即n≤
而拋物線y=-x2+2x的對(duì)稱軸為x=1,∴當(dāng)n≤時(shí),f(x)在[m,n]上為增函數(shù).
若滿足題設(shè)條件的m,n存在,則
又m<n≤
∴m=-2,n=0,這時(shí),定義域?yàn)閇-2,0],值域?yàn)閇-8,0].
由以上知滿足條件的m,n存在,m=-2,n=0.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用,還考查了二次函數(shù)解析式的常用解法及分類討論,轉(zhuǎn)化思想.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長(zhǎng)度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時(shí),f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長(zhǎng)度為12-t?請(qǐng)對(duì)你所得的結(jié)論給出證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時(shí),函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

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