Question

已知?jiǎng)訄AM經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-2，0），且與圓C：（x-2）²+y²=32內(nèi)切，
（1）求動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程；
（2）求軌跡E上任意一點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)B（1，0）的距離d的最小值，并求d取得最小值時(shí)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）依題意，不難得到|MA|+|MC|=4

2

，轉(zhuǎn)化為橢圓定義，求出動(dòng)圓圓心M的軌跡E的方程．
（2）求軌跡E上任意一點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)B（1，0）的距離d的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題即可．

解答：解：（1）依題意，動(dòng)圓與定圓相內(nèi)切，得|MA|+|MC|=4

2

，可知M到兩個(gè)定點(diǎn)A、C的距離的和為常數(shù)4

2

，并且常數(shù)大于|AC|，所以點(diǎn)M的軌跡為以A、C焦點(diǎn)的橢圓，可以求得a=2

2

，c=2，b=2，
所以曲線E的方程為

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）解：d=|BM|=

(x-1)2+y2

=

(x-1)2+4(1- x2 8 )

=

1 2 (x-2)2+3

因?yàn)椋?span id="ttnfxzb" class="MathJye">-2

2

≤x≤2

2

，所以，當(dāng)x=2時(shí)，d=

3

最小，
所以，dmin=

3

；M(2，±

2

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓與圓的位置關(guān)系，函數(shù)的最值問(wèn)題，橢圓的定義，是中檔題．