已知直線l：（a∈R），圓O：x2+y2=4．
（Ⅰ）求證：直線l與圓O相交；
（Ⅱ）判斷直線l被圓O截得的弦何時最短？并求出最短弦的長度；
（Ⅲ）如圖，已知AC、BD為圓O的兩條相互垂直的弦，垂足為M（1，），求四邊形ABCD的面積的最大值．

【答案】分析：（Ⅰ）判斷直線恒過定點(diǎn)，證明點(diǎn)在圓的內(nèi)部，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直線l過定點(diǎn)M，當(dāng)l⊥OM時，弦長最短；
（Ⅲ）設(shè)圓心O到AC、BD的距離為d1、d2，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有，表示出AC，BD，可得四邊形ABCD的面積，利用基本不等式，即可求得最大值．
解答：（Ⅰ）證明：直線，所以直線l過定點(diǎn)，
∵，∴在圓C內(nèi)部，
∴直線l與圓C相交．…3分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，直線l過定點(diǎn)M，當(dāng)l⊥OM時，弦長最短．…4分
∴=，∴
此時，l的方程為，圓心到直線的距離
所以最短弦長：…7分
（Ⅲ）解：設(shè)圓心O到AC、BD的距離為d1、d2，垂足分別為E、F，則四邊形OEMF為矩形，則有
由平面幾何知識知：，
∴S四邊形ABCD=|AC|•|BD|=≤
=8-=5（當(dāng)且僅當(dāng)d1=d2取等號）
∴四邊形ABCD的面積的最大值為5．…12分．
點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查圓中弦長的計算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l的方程是y=-（a+1）x+2-a（a∈R）．
（1）若l在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線l的方程；
（2）若l與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線l：（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l直線的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（A）若不等式|x+1|-|x-4|≥a+
4
a
，對任意的x∈R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
（-∞，4]∪[-1，0）
（-∞，4]∪[-1，0）

（B）已知直線l：
x=a+2t
y=-1-t
（t為參數(shù)），圓C：ρ=2
2
cos（θ-
π
4
）（極軸與x軸的非負(fù)半軸重合，且單位長度相同），若直線l被圓C截得弦長為2，則a=
5±
5
5±
5
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷D（八）（解析版） 題型：解答題

已知直線l：（a+1）x+y-2-a=0（a∈R）在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求l直線的方程．

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