Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足：a1=

1

4

，an+bn=1，bn+1=

bn

(1-an)(1+an)

．
（Ⅰ）求b₁，b₂，b₃，b₄；
（Ⅱ）設(shè)cn=

1

bn-1

，求數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ）設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，不等式4aS_n＜b_n恒成立時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

（本題14分）
（Ⅰ） SnSn+2-S2n+1=m(Sn+Sn+2-2Sn+1)，
∵[lg（S_n-m）+lg（S_n+2-m）]=2lg（S_n+1-m），
∴b2=

4

5

，b3=

5

6

，b4=

6

7

．…（4分）
（Ⅱ）∵bn+1-1=

1

2-bn

-1，
∴

1

bn+1-1

=

2-bn

bn-1

=-1+

1

bn-1

，…（5分）
∴數(shù)列{c_n}是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列．
∴c_n=-4+（n-1）•（-1）=-n-3．…（7分）
（Ⅲ）由于cn=

1

bn-1

=-n-3，
所以bn=

n+2

n+3

，
從而an=1-bn=

1

n+3

..…（8分）
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1=

1

4×5

+

1

5×6

+…

1

(n+3)(n+4)

=

1

4

-

1

n+4

=

n

4(n+4)

∴4aSn-bn=

an

n+4

-

n+2

n+3

=

(a-1)n2+(3a-6)n-8

(n+3)(n+4)

…（10分）
由條件知（a-1）n²+（3a-6）n-8＜0恒成立即可滿足條件，
設(shè)f（n）=（a-1）n²+（3a-6）n-8，
當(dāng)a=1時(shí)，f（n）=-3n-8＜0恒成立
當(dāng)a＞1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立，
當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)稱軸 n=-

3

2

•

a-2

a-1

=-

3

2

(1-

1

a-1

)＜0，
f（n）在（1，+∞）為單調(diào)遞減函數(shù)．
f（1）=（a-1）n²+（3a-6）n-8=（a-1）+（3a-6）-8=4a-15＜0，
∴a＜

15

4

，
∴a＜1時(shí)4aS_n＜b_n恒成立
綜上知：a≤1時(shí)，4aS_n＜b_n恒成立…（14分）