Question

已知函數(shù).

(1)當時，求函數(shù)的極值；

(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(3)是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上有唯一的零點，若有，請求出的范圍；若沒有，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1），無極大值；（2）見解析；（3）存在，或.

【解析】

試題分析：（1）先找到函數(shù)的定義域，在定義域內(nèi)進行作答，在條件下求出函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系，判斷函數(shù)的極值；（2）先求出函數(shù)的導函數(shù)，其導函數(shù)中含有參數(shù)，所以要進行分類討論，對分三種情況，，進行討論，分別求出每種情況下的函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間；（3）結(jié)合（2）中的結(jié)果，找到函數(shù)的極值點，要滿足題中的要求，那么或，解不等式，在的范圍內(nèi)求解.

試題解析：（1） 函數(shù)的定義域是，        1分

當時，，

所以在上遞減，在上遞增，

所以函數(shù)的極小值為，無極大值；                     4分

（2）定義域，            5分

①當，即時，由，得的增區(qū)間為；由，得的減區(qū)間為；                 6分

②當，即時，由，得的增區(qū)間為和；由，得的減區(qū)間為；         7分

③當，即時，由，得的增區(qū)間為和；由，得的減區(qū)間為；         8分

綜上，時，的增區(qū)間為，減區(qū)間為；

時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；

時，的增區(qū)間為和，減區(qū)間為；        9分

 (3)當時，由（2）知在的極小值為，而極大值為；

由題意，函數(shù)的圖象與在上有唯一的公共點，

所以，或，結(jié)合，

解得或.            13分

考點：1、對數(shù)函數(shù)的定義域；2、含參數(shù)的分類討論思想；3、函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關系；4、解不等式；5、求函數(shù)的極值.