Question

如圖，某市新體育公園的中心廣場平面圖如圖所示，在y軸左側(cè)的觀光道曲線段是函數(shù)，時的圖象且最高點(diǎn)B（-1，4），在y軸右側(cè)的曲線段是以CO為直徑的半圓弧. ⑴試確定A，和的值；⑵現(xiàn)要在右側(cè)的半圓中修建一條步行道CDO（單位：米），在點(diǎn)C與半圓弧上的一點(diǎn)D之間設(shè)計為直線段（造價為2萬元/米），從D到點(diǎn)O之間設(shè)計為沿半圓弧的弧形（造價為1萬元/米）．設(shè)(弧度)，試用來表示修建步行道的造價預(yù)算，并求造價預(yù)算的最大值？（注：只考慮步行道的長度，不考慮步行道的寬度）

 

 

Answer 1

（1）,，；（2）造價預(yù)算，，造價預(yù)算最大值為（）萬元.

【解析】

試題分析：（1）此小題實(shí)質(zhì)是考查利用三角函數(shù)圖像求三角解析式問題，由最高點(diǎn)B的坐標(biāo)可求得A的值，又四分之一周期為3，易求得，在此情況下，把B點(diǎn)坐標(biāo)代入三角解析式中可求得；（2）本小題中步行道分兩部分組成，（如圖）一部分在扇形中利用弧長公式：求得，另一部分在中利用直角三角形的邊角關(guān)系求得，兩項相加可得關(guān)于的造價預(yù)算函數(shù)，再用導(dǎo)數(shù)工具求得其最值.

試題解析：⑴因為最高點(diǎn)B（-1，4），所以A=4；又，所以，因為，代入點(diǎn)B（-1，4），，又；⑵由⑴可知：，得點(diǎn)C即，取CO中點(diǎn)F，連結(jié)DF，因為弧CD為半圓弧，所以，即 ，則圓弧段造價預(yù)算為萬元，中，，則直線段CD造價預(yù)算為萬元，所以步行道造價預(yù)算，．由得當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以在時取極大值，也即造價預(yù)算最大值為（）萬元．

（圖）

 

考點(diǎn)：利用三角函數(shù)圖像求三角解析式問題，導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值問題（要關(guān)注函數(shù)定義域），數(shù)形結(jié)合思想.