Question

某公司生產某種電子儀器，每月的固定成本為20000 元，每生產一臺儀器需增加投入100 元，已知月銷售收入R（x） （單位：元）與月產量x （單位：臺）的函數關系為R(x)=

400x- 1 2 x2，0≤x≤400 80000 ，x＞400.

（1）求月利潤f（x） 與月產量x 的函數關系；
（2）當月產量為何值時，公司獲得的月利潤最大？最大月利潤是多少？

Answer 1

分析：（1）月利潤f（x）=月銷售收入R（x）-生產儀器增加投入-固定成本；因R（x）是分段函數，故分別計算0≤x≤400，x＞400 時，f（x）的解析式；
（2）因為利潤函數f（x）是分段函數，所以要分別在0≤x≤400，x＞400 時，計算f（x）的最大值，通過比較得出f（x）在其定義域上的最大值．

解答：解：（1）當0≤x≤400 時，f(x)=400x-

1

2

x2-20000-100x=-

1

2

x2+300x-20000；
當x＞400 時，f（x）=80000-20000-100x=-100x+60000；     
綜上所述：f(x)=

- 1 2 x2+300x-20000，(0≤x≤400) -100x+60000     (x＞400)

．
（2）當0≤x≤400時，f(x)=-

1

2

(x-300)2+25000，
∴當x=300 時，f（x）_max=25000；                  
當x＞400 時，f（x）=-100x+60000 是減函數，
∴f（x）＜-100×400+60000=20000；
 綜上所述，當x=300 時，f（x）_max=25000．
所以，當月產量為300臺時，公司獲得的月利潤最大，其值為25000元．

點評：本題考查了分段函數模型的應用，當分段函數求最值時，要分別在每一區(qū)間上求出最值，通過比較得出整個定義域上的最值．