Question

已知向量

m

=（

3

sinx，cosx），

n

=（cosx，cosx），

p

=（2

3

，1）．
（1）若

m

∥

p

，求

m

•

n

的值；    
（2）若角x∈(0，

π

3

]，求函數f（x）=

m

•

n

的值域．

Answer 1

分析：（1）由

m

∥

p

求得tanx=2，再利用同角三角函數的基本關系以及兩個向量的數量積公式求出

m

•

n

的值．
（2）利用兩個向量的數量積公式以及三角恒等變換求出函數f（x）=

m

•

n

=sin（2x+

π

6

）+1，再由x的范圍，求出f（x）的值域．

解答：解：（1）由

m

∥

p

可得

3 sinx

cosx

=

2 3

1

，∴tanx=2．
∴

m

 • 

p

=

3

sinxcosx+cos²x=

3 sinxcosx+ cos2x

cos2x+ sin2x

=

3 tanx+1

tan2x+1

=

2 3 +1

5

．
（2）∵角x∈(0，

π

3

]，函數f（x）=

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos²x=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+1，
∴2x+

π

6

∈( 

π

6

 ，

5π

6

]，sin（2x+

π

6

）∈[

1

2

，1]，
∴f（x）∈[1，

3

2

]．
即f（x）的值域為[1，

3

2

]．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，三角函數的恒等變換，正弦函數的定義域和值域，屬于中檔題．