如果函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函數(shù)，下面四個(gè)函數(shù)：①f（x）=1；②f（x）=x2；③f（x）=（sinx+cosx）x；④f(x)=
x
x2+x+1

其中屬于有界泛函數(shù)的是（　　）
A、①②B、①③C、③④D、②④
分析：根據(jù)有界泛函數(shù)的定義，逐個(gè)驗(yàn)證，對(duì)于①取x=0，即可說(shuō)明①不是有界泛函數(shù)；對(duì)于②采取反證法，f（x）=x2是有界泛函數(shù)，則x2≤M|x|，取x=M+1，得到矛盾，因此②不是有界泛函數(shù)；對(duì)于③利用三角函數(shù)的有界性即可證明③是有界泛函數(shù)；對(duì)于④求函數(shù)f(x)=
1
x2+x+1
的最大值即可證明④是有界泛函數(shù)；從而得到選項(xiàng)．
解答：解：函數(shù)f（x）對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|恒成立，那么就稱函數(shù)f（x）為有界泛函數(shù)，
∴①取x=0，則|f（x）|=1，|x|=0，故不存在常數(shù)M，使得不等式|f（x）|≤M|x|成立，因此①不是有界泛函數(shù)；
②若f（x）=x2是有界泛函數(shù)，則x2≤M|x|，取x=M+1，則有（M+1）2＞M（M+1），故與假設(shè)矛盾，因此②不是有界泛函數(shù)；
③f（x）=（sinx+cosx）x≤
2
|x|，故③是有界泛函數(shù)；
④f(x)=
x
x2+x+1
≤
4
3
|x|，故④是有界泛函數(shù)；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題是個(gè)中檔題題．考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，以及三角函數(shù)的有界性和二次函數(shù)配方法求最值等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了學(xué)生的閱讀能力，對(duì)題意的理解和轉(zhuǎn)化能力，以及靈活應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）的可導(dǎo)函數(shù)，且不恒為0，記gn（x）=
f(x)
n
(n∈N*)．若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，總有g(shù)n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負(fù)函數(shù)”；若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，總有[gn(x)]′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（[gn(x)]′為函數(shù)gn（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（1）若f（x）=
a
x3
-
1
x
-x（x＞0）既是“1階負(fù)函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)任給的“n階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“n階負(fù)函數(shù)”？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2013•南通三模）設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）的可導(dǎo)函數(shù)，且不恒為0，記gn(x)=
f(x)
xn
(n∈N*)．若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，總有g(shù)n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負(fù)函數(shù)”；若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，總有[gn(x)]′≥0，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（[gn(x)]′為函數(shù)gn（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（1）若f(x)=
a
x3
-
1
x
-x(x＞0)既是“1階負(fù)函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)任給的“2階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“2階負(fù)函數(shù)”？并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：全優(yōu)設(shè)計(jì)選修數(shù)學(xué)－2-2蘇教版 蘇教版 題型：022

已知函數(shù)y＝f(x)，設(shè)x0是定義域內(nèi)任一點(diǎn)，如果對(duì)x0附近的所有點(diǎn)x，都有f(x)＜f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處取_________，記作_________．并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個(gè)_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)f（x）是定義在（0，+∞）的可導(dǎo)函數(shù)，且不恒為0，記數(shù)學(xué)公式．若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，總有g(shù)n（x）＜0，則稱f（x）為“n階負(fù)函數(shù)”；若對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，總有數(shù)學(xué)公式，則稱f（x）為“n階不減函數(shù)”（數(shù)學(xué)公式為函數(shù)gn（x）的導(dǎo)函數(shù)）．
（1）若數(shù)學(xué)公式既是“1階負(fù)函數(shù)”，又是“1階不減函數(shù)”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)任給的“2階不減函數(shù)”f（x），如果存在常數(shù)c，使得f（x）＜c恒成立，試判斷f（x）是否為“2階負(fù)函數(shù)”？并說(shuō)明理由．

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