Question

【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A，B兩家餐廳用餐的滿意度，從在A，B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分，滿分均為60分．整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]，得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：

B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表
分?jǐn)?shù)區(qū)間	頻數(shù)
[0，10）	2
[10，20）	3
[20，30）	5
[30，40）	15
[40，50）	40
[50，60]	35

定義學(xué)生對(duì)餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”如下：

分?jǐn)?shù)	[0，30）	[30，50）	[50，60]
滿意度指數(shù)	0	1	2

（Ⅰ）在抽樣的100人中，求對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù)；
（Ⅱ）從該校在A，B兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人進(jìn)行調(diào)查，試估計(jì)其對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高的概率；
（Ⅲ）如果從A，B兩家餐廳中選擇一家用餐，你會(huì)選擇哪一家？說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由對(duì)A餐廳評(píng)分的頻率分布直方圖，得

對(duì)A餐廳“滿意度指數(shù)”為0的頻率為（0.003+0.005+0.012）×10=0.2，

所以，對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù)為100×0.2=20．

（Ⅱ）設(shè)“對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’比對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’高”為事件C．

記“對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’為1”為事件A1；“對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’為2”為事件A2；“對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’為0”為事件B0；“對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’為1”為事件B1．

所以P（A1）=（0.02+0.02）×10=0.4，P（A2）=0.4，

由用頻率估計(jì)概率得： ， ．

因?yàn)槭录嗀i與Bj相互獨(dú)立，其中i=1，2，j=0，1．

所以P（C）=P（A1B0+A2B0+A2B1）

=0.4×0.1+0.4×0.1+0.4×0.55=0.3．

所以該學(xué)生對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”比對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”高

的概率為0.3．

（Ⅲ）如果從學(xué)生對(duì)A，B兩家餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”的期望角度看：

A餐廳“滿意度指數(shù)”X的分布列為：

X	0	1	2
P	0.2	0.4	0.4

B餐廳“滿意度指數(shù)”Y的分布列為：

Y	0	1	2
P	0.1	0.55	0.35

因?yàn)镋X=0×0.2+1×0.4+2×0.4=1.2；

EY=0×0.1+1×0.55+2×0.35=1.25，

所以EX＜EY，會(huì)選擇B餐廳用餐

【解析】（Ⅰ）由對(duì)A餐廳評(píng)分的頻率分布直方圖，求解對(duì)A餐廳“滿意度指數(shù)”為0的頻率．然后求解對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)“滿意度指數(shù)”為0的人數(shù)．（Ⅱ）設(shè)“對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’比對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’高”為事件C．記“對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’為1”為事件A1；“對(duì)A餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’為2”為事件A2；“對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’為0”為事件B0；“對(duì)B餐廳評(píng)價(jià)‘滿意度指數(shù)’為1”為事件B1．求出概率，利用獨(dú)立重復(fù)概率乘法公式求解即可．（Ⅲ）從學(xué)生對(duì)A，B兩家餐廳評(píng)價(jià)的“滿意度指數(shù)”的期望角度看：得到分布列，求出期望，即可推出結(jié)果．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解離散型隨機(jī)變量及其分布列的相關(guān)知識(shí)，掌握在射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對(duì)于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量．離散型隨機(jī)變量的分布列：一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個(gè)值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡(jiǎn)稱分布列．