Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=na+n（n-1）b，（n=1，2，…），a、b是常數(shù)且b≠0．
（1）證明：以（a_n，

Sn

n

-1）為坐標(biāo)的點P_n（n=1，2，…）都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程．
（2）設(shè)a=1，b=

1

2

，圓C是以（r，r）為圓心，r為半徑的圓（r＞0），在（2）的條件下，求使得點P₁、P₂、P₃都落在圓C外時，r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n=1時，P₁（a₁，a₁-1），可去研究P_n（n≥2）與P₁所在直線的斜率是否相等，若相等，則說明都落在同一條直線上，繼而根據(jù)點斜式寫出此直線的方程．
（2）點在圓外的條件是點到圓心的距離大于半徑．由已知列出關(guān)于r的不等式組，解不等式即可．

解答：解：（1）證明：∵b≠0，對于n≥2，有

( Sn n -1)-( S1 1 -1)

an-a1

=

na+n(n-1)b a -a

a+2(n-1)b-a

=

(n-1)b

2(n-1)b

=

1

2

∴所有的點P_n（a_n，

Sn

n

-1）（n=1，2，…）都落在通過P₁（a，a-1）且以

1

2

為斜率的直線上．
  由點斜式，此直線方程為y-（a-1）=

1

2

（x-a），即x-2y+a-2=0
  （2）解：當(dāng)a=1，b=

1

2

時，

Sn

n

-1=a+（n-1）b=

n-1

2

∴P_n的坐標(biāo)為（n，

n-1

2

），使P₁（1，0）、P₂（2，

1

2

）、P₃（3，1）都落在圓C外的條件是
   ①②③

(r-1)2+r2＞r2 (r-2)2+(r- 1 2 )2＞r2 (r-3)2+(r-1)2＞r2

即

(r-1)2＞0 r2-5r+ 17 4 ＞0 r2-8r+10＞0

由不等式①，得r≠1
由不等式②，得r＜

5

2

-

2

或r＞

5

2

+

2

由不等式③，得r＜4-

6

或r＞4+

6

再注意到r＞0，1＜

5

2

-

2

＜4-

6

，

5

2

+

2

＜4+

6

故使P₁、P₂、P₃都落在圓C外時，r的取值范圍是（0，1）∪（1，

5

2

-

2

）∪（4+

6

，+∞）．

點評：本題考查多點共線的判定，直線方程求解、點與圓位置關(guān)系、不等式組的解法．要具有分析、解決問題能力，良好的計算能力．