Question

已知函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

6

)，x∈R，
（1）求出函數(shù)f（x）的最小正周期和f（0）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最小值和最大值，并求出取得最值時x的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的解析式可求得函數(shù)的最小正周期，以及f（0）=2sin（-

π

6

） 的值．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（3）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得函數(shù)f（x）的最值以及取得最值時x的值．

解答：解：（1）根據(jù)函數(shù)f(x)=2sin(2x-

π

6

)，x∈R，可得函數(shù)的最小正周期為

2π

2

=π，
f（0）=2sin（-

π

6

）=2×（-

1

2

）=-1．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

3

，
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（3）由x∈[0，

π

2

]，可得-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
故當(dāng)2x-

π

6

=-

π

6

時，即x=0時，sin（2x-

π

6

）取得最小值為-

1

2

，函數(shù)f（x）取得最小值為-1；
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

時，即x=

π

3

時，sin（2x-

π

6

）取得最大值為1，函數(shù)f（x）取得最大值為2．

點(diǎn)評：本題主要考查復(fù)合三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性的應(yīng)用，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．