Question

已知函數(shù)f(x)=(x2-x-

1

a

)eax(a≠0)．
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時，若不等式f(x)+

3

a

≥0對x∈[-

3

a

，+∞)恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出f′（x）=0的值，討論a與-2的大小關(guān)系，解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）討論滿足f′（x）=0的點將區(qū)間[-

3

a

，+∞）分成幾段，然后利用列表法求出f′（x）=0的點附近的導(dǎo)數(shù)的符號的變化情況，來確定極值，從而求出最小值，使[f（x）+

3

a

]min≥0恒成立，求出a的取值范圍即可．

解答：解：f′(x)=(2x-1)eax+(x2-x-

1

a

)•eax•a=e^ax（ax+2）（x-1）（2分）
（ I）令f′（x）=0即（ax+2）（x-1）=0，解得x=-

2

a

或x=1．（3分）
當(dāng)-

2

a

＜1即a＜-2時，
令f′（x）＞0解得-

2

a

＜x＜1；令f′（x）＜0解得x＜-

2

a

或x＞1．
則f（x）在(-∞，-

2

a

)，（1，+∞）上為減函數(shù)，在(-

2

a

，1)上為增函數(shù)．（5分）
當(dāng)-

2

a

=1即a=-2時，f′（x）=e^-2x（-2）（x-1）²≤0在R上恒成立，
則f（x）在（-∞，+∞）上為減函數(shù)．（6分）
當(dāng)-

2

a

＞1即-2＜a＜0時，
令f′（x）＞0解得1＜x＜-

2

a

；令f′（x）＜0解得x＞-

2

a

或x＜1．
則f（x）在（-∞，1），(-

2

a

，+∞)上為減函數(shù)，在(1，-

2

a

)上為增函數(shù)．（8分）
綜上，當(dāng)a＜-2時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(-

2

a

，1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-

2

a

)，（1，+∞）；
當(dāng)a=-2時，f（x）單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)-2＜a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，-

2

a

)，單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，1），(-

2

a

，+∞)．（9分）
（ II）當(dāng)a＞0時，列表得：

x	(- 3 a ，- 2 a )	- 2 a	(- 2 a ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增	極大值	增	極小值	增

又f(-

3

a

)=

9+2a

a2

e-3＞0，f(1)=-

1

a

ea＜0，
從而當(dāng)x≥-

3

a

時，函數(shù)f（x）在x=1時取得最小值f(1)=-

1

a

ea，（12分）
由題意，不等式f(x)+

3

a

≥0對x∈[-

3

a

，+∞)恒成立，
所以得-

1

a

ea+

3

a

≥0，解得0＜a≤ln3，
從而a的取值范圍為（0，ln3]．（14分）

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值等基礎(chǔ)知識，考查計算能力和分析問題的能力，屬于中檔題．