Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

(x-1)2+㏑x-ax+a．
（I）若a=

3

2

，求函數(shù)f（x）的極值；
（II）若對任意的x∈（1，3），都有f（x）＞0成立，求a取值范圍．

Answer 1

（I）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．
f^′（x）=x-1+

1

x

-a，
當(dāng)a=

3

2

時，f′(x)=x+

1

x

-

5

2

=

2x2-5x+2

2x

，
令f^′（x）=0，解得x=

1

2

或2．列表：

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，2)	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	等單調(diào)遞增

函數(shù)f（x）在x=

1

2

處取得極大值f(

1

2

)=-

1

8

-ln2，
函數(shù)f（x）在x=2處取得極小值f（2）=ln2-

1

2

；
（II）f′(x)=x+

1

x

-(1+a)，當(dāng)x∈（1，3）時，(x+

1

x

)∈(2，

10

3

)，
（i）當(dāng)1+a≤2，即a≤1時，x∈（1，3），f^′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1，3）是增函數(shù)，
?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0恒成立；                     
（ii）當(dāng)1+a≥

10

3

，即a≥

7

3

時，x∈（1，3）時，f^′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（1，3）是減函數(shù)，
?x∈（1，3），f（x）＜f（1）=0恒成立，不合題意，應(yīng)舍去；
（iii）當(dāng)2＜1+a＜

10

3

，即1＜a＜

7

3

時，x∈（1，3）時，f^′（x）先取負(fù)，再取0，最后取正，函f（x）在（1，3）先遞減，再遞增，而f（1）=0，∴?x∈（1，3），f（x）＞f（1）=0不能恒成立；
綜上，a的取值范圍是（-∞，1）．