Question

某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是

1

3

．
（Ⅰ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈的概率；
（Ⅱ）求這名學(xué)生在上學(xué)路上遇到紅燈個(gè)數(shù)X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈是指事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，從而可求概率；
（II）確定變量的取值，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率模型求出相應(yīng)的概率，即可求X的分布列及期望．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個(gè)路口時(shí)首次遇到紅燈為事件A，因?yàn)槭录嗀等于事件“這名學(xué)生在第一和第二個(gè)路口沒有遇到紅燈，在第三個(gè)路口遇到紅燈”，
所以事件A的概率為P（A）=（1-

1

3

）×（1-

1

3

）×

1

3

=

4

27

．…（5分）
（Ⅱ）由題意，可得X可能取的值為0，1，2，3，4．
∴P(X=k)=

C

k 4

(

1

3

)k(

2

3

)4-k（k=0，1，2，3，4）．
∴即X的分布列是

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	8 81	8 81	1 81

…（10分）
∴X的期望是EX=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

8

27

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．…（13分）

點(diǎn)評：本題以實(shí)際問題為載體，考查相互獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查學(xué)生分析解決問題的能力．