Question

已知數列{a_n}的通項公式an=log2

n+1

n+2

(n∈N*)，設前n項和為S_n，則使S_n＜-5成立的自然數n的最小值是

 

．

Answer 1

分析：根據題中已知數列{a_n}的通項公式求出其前n項和的S_n的表達式，然后令S_n＜-5即可求出n的取值范圍，即可知n有最小值．

解答：解：由題意可知；a_n=log₂

n+1

n+2

（n∈N^*），
設{a_n}的前n項和為S_n=log₂

2

3

+log₂

3

4

+…+log₂

n

n+1

+log₂

n+1

n+2

，
=[log₂2-log₂3]+[log₂3-log₂4]+…+[log₂n-log₂（n+1）]+[log₂（n+1）-log₂（n+2）]
=[log₂2-log₂（n+2）]=log₂

2

n+2

＜-5，
即

2

n+2

＜2^-5
解得n＞62，
∴使S_n＜-5成立的自然數n有最小值為63，
故答案為：63．

點評：本題主要考查了數列與函數的綜合應用，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題．