Question

4．稱正整數(shù)集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性質(zhì) P：如果對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與$\frac{a_j}{a_i}$兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于 A．
（1）分別判斷集合{1，3，6}與{1，3，4，12}是否具有性質(zhì) P；
（2）設(shè)正整數(shù)集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性質(zhì) P．證明：對(duì)任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因數(shù)；
（3）求a_n=30時(shí)n的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)性質(zhì)P；對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與$\frac{{a}_{j}}{{a}_{i}}$兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A，驗(yàn)證給的集合集{1，3，6}與{1，3，4，12}中的任何兩個(gè)元素的積商是否為該集合中的元素；
（2）運(yùn)用反證法，結(jié)合A具有性質(zhì)P，即可得證；
（3）運(yùn)用30的質(zhì)因數(shù)分解，結(jié)合組合的知識(shí)，即可得到n的最大值．

解答 解：（1）由于3×6與$\frac{6}{3}$均不屬于數(shù)集{1，3，6}，∴數(shù)集{1，3，4} 不具有性質(zhì)P；
由于1×3，1×4，1×12，3×4，$\frac{12}{3}$，$\frac{12}{4}$都屬于數(shù)集{1，2，3，6}，
∴數(shù)集{1，3，4，12} 具有性質(zhì)P．
（2）證明：設(shè)正整數(shù)集合 A={a₁，a₂，…，a_n}（1≤a₁＜a₂＜…＜a_n，n≥2）具有性質(zhì) P．
即有對(duì)任意的i，j（1≤i≤j≤n），a_ia_j與$\frac{{a}_{j}}{{a}_{i}}$兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A．
運(yùn)用反證法證明．假設(shè)存在一個(gè)數(shù)a_i不是a_n的因數(shù)，
即有a_ia_n與$\frac{{a}_{i}}{{a}_{n}}$或$\frac{{a}_{n}}{{a}_{i}}$，都不屬于A，這與條件A具有性質(zhì)P矛盾．
故假設(shè)不成立．
則對(duì)任意1≤i≤n（i∈N^*），a_i都是a_n的因數(shù)；
（3）由（2）可知，ai均為an=30的因數(shù)，
由于30=2×3×5，
由組合的知識(shí)可得2，3，5都有選與不選2種可能．
共有2×2×2=8種，
即有n的最大值為8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義的理解和運(yùn)用，考查推理能力，以及反證法的運(yùn)用，組合知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．