Question

關于x的方程有解，則m的取值范圍是（ ）
A．
B．
C．
D．[1，+∞）

Answer 1

【答案】分析：令t=a^x，換元，構造方程t²+（1+）t+1=0，題意說明方程有正解，利用△≥0，以及韋達定理t₁+t₂=-（1+）＞0
t₁t₂=1＞0，來解m即可．
解答：解：令t=a^x，則原方程化為：
t²+（1+）t+1=0，這是個關于t的一元二次方程，
而且，由于t=a^x，根據指數函數（或是冪函數）的定義，必有t=a^x＞0，
∴此關于t的一元二次方程必然要存在實根，且實根無論個數如何，都必須使正的
方程有實根的條件是：
△=（1+）²-4≥0
1++（）²-4≥0
3--（）²≤0
m作為分母必有：m≠0，∴m²＞0，不等式兩側同時乘以m²，得：
3m²-2m-1≤0
-≤m≤1   ①
方程具有正實根的條件是：
t₁+t₂=-（1+）＞0
t₁t₂=1＞0
下面的式子顯然成立，上面的不等式進一步化簡有：
＜0
＜=＞-1＜m＜0   ②
取①，②的交集，就能得到m的取值范圍是：
-≤m＜0
故選A．
點評：本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查函數與方程的思想，換元法，考查計算能力，是中檔題．