Question

已知數(shù)列{a_n}、{b_n}滿足a₁=b₁=6，a₂=b₂=4，a₃=b₃=3，且{a_n+1-a_n}（n∈Z^）是等差數(shù)列，{b_n-2}（n∈Z^）是等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）是否存在k∈Z⁺，使a_k-b_k∈？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：（1）∵{b_n-2} （n∈Z⁺）為等比數(shù)列，又b₁-2=4，b₂-2=2，b₃-2=1，
∴公比，，（n∈Z⁺）（2分）
（2）∵{a_n+1-a_n} （n∈Z⁺）是等差數(shù)列，又a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，
∴公差d=1，a_n+1-a_n=-2+（n-1）=n-3（3分）
于是a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=[（n-1）-3]+[（n-2）-3]+…+（1-3）+6
=（n∈Z⁺）（5分）
（3）
∵隨正整數(shù)n的增加而增加
∴當(dāng)n≥6時，（7分）
又a₁-b₁=a₂-b₂=a₃-b₃=0（9分）
由此可見，不存在k∈Z⁺，使（10分）
分析：（1）根據(jù){b_n-2}（n∈Z^）是等比數(shù)列，可求{b_n-2}的通項公式，進而可求數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）根據(jù){a_n+1-a_n} （n∈Z⁺）是等差數(shù)列，又a₂-a₁=-2，a₃-a₂=-1，利用疊加法可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）先表示，進而可求其范圍，從而得結(jié)論．
點評：本題的考點是等差數(shù)列的通項公式，主要考查數(shù)列通項的求解，考查是否存在性問題，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列、等比數(shù)列研究問題．