Question

定義數(shù)列A_n：a₁，a₂，…，a_n，（例如n=3時，A₃：a₁，a₂，a₃）滿足a₁=a_n=0，且當(dāng)2≤k≤n（k∈N^*）時，．令S（A_n）=a₁+a₂+…+a_n．
（1）寫出數(shù)列A₅的所有可能的情況；
（2）設(shè)a_k-a_k-1=c_k-1，求S（A_m）（用m，c₁，…，c_m的代數(shù)式來表示）；
（3）求S（A_m）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列A₅的所有可能情況有6種．
（2）a_k-a_k-1=c_k-1，由，則c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），由此能求出S（A_m）．
（3）當(dāng)c₁，c₂，…，c_m-1的前項(xiàng)取1，后項(xiàng)取-1時S（A_m）最大，此時，再利用題設(shè)條件進(jìn)行證明即可．
解答：解：（1）由題設(shè)，滿足條件的數(shù)列A₅的所有可能情況有：
①0，1，2，1，0；②0，1，0，1，0；
③0，1，0，-1，0；④0，-1，-2，-1，0；
⑤0，-1，0，1，0；⑥0，-1，0，-1，0．
（2）a_k-a_k-1=c_k-1，由，
則c_k-1=1或c_k-1=-1（2≤k≤n，k∈N^*），
a₂-a₁=c₁，a₃-a₂=c₂，
…a_n-a_n-1=c_n-1，
所以a_n=a₁+c₁+c₂+…+c_n-1．
因?yàn)閍₁=a_n=0，所以c₁+c₂+…+c_n-1=0，且n為奇數(shù)，
c₁，c₂，…，c_n-1是由個1和個-1構(gòu)成的數(shù)列．
所以S（A_m）=c₁+（c₁+c₂）+…+（c₁+c₂+…+c_m-1）
=（m-1）c₁+（m-2）c₂+…+2c_m-2+c_m-1．
（3）當(dāng)c₁，c₂，…，c_m-1的前項(xiàng)取1，
后項(xiàng)取-1時S（A_m）最大，
此時（14分）
證明如下：
假設(shè)c₁，c₂，…，c_m-1的前項(xiàng)中恰有t項(xiàng)取-1，
則c₁，c₂，…，c_m-1的后項(xiàng)中恰有t項(xiàng)取1，
其中，，，i=1，2，…，t．
所以S（A_m）=（m-1）c₁+（m-2）c₂+…+2c_m-2+c_m-1
=
=-2[（m-m₁）+（m-m₂）+…+（m-m_t]+2[（m-n₁）+（m-n₂）+…+（m-n_t）]
=．
所以S（A_m）的最大值為．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的最大值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想的合理運(yùn)用．