Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為3，最小值為1．
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(Ⅱ)若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是左右頂點(diǎn)），且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓C的右頂點(diǎn)，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。

Answer 1

解：(Ⅰ)由題意設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
由已知得：a+c=3，a-c=1，
∴a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
(Ⅱ)設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，
聯(lián)立，得(3+4k²)x²+8mkx+4(m²-3)=0，
則，
又y₁y₂=(kx₁+m)(kx₂+m)=k²x₁x₂+mk(x₁+x₂)+m²，
因?yàn)橐訟B為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2，0)，
∴，即，
∴y₁y₂+x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=0，
∴，
∴7m²+16mk+4k²=0，
解得：，且均滿足3+4k²-m²＞0，
當(dāng)m₁=-2k時(shí)，l的方程為y=k（x-2），直線過(guò)定點(diǎn)(2，0)，與已知矛盾；
當(dāng)時(shí)，l的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)。
所以，直線l過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為。