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已知拋物線C：y2=4x，P（x0，y0）（y0＞0）為拋物線上一點，Q為P關于x軸對稱的點，O為坐標原點．
（1）若S△POQ=2，求P點的坐標；
（2）若過滿足（1）中的點P作直線PA，PB交拋物線C于A，B兩點，且斜率分別為k1，k2，且k1k2=4，求證：直線AB過定點，并求出該定點坐標．
（1）由題意得，S△POQ=
1
2
x02y0=2，∴
y03
4
=2，∴y0=2，即P（1，2）…（4分）
（2）證明：設直線AB的方程為x=my+b，A（x1，y1）B（x2，y2）
直線與拋物線聯立得y2-4my-4b=0，∴y1+y2=4m，y1y2=-4b
由k1k2=4，即
y1-2
x1-1
•
y2-2
x2-1
=4，整理得
y1y2-2(y1+y2)+4
x1x2-(x1+x2)+1
=4
即
y1y2-2(y1+y2)+4
1
16
y1y2-
1
4
[(y1+y2)2-2y1y2]+1
=4，
把韋達定理代入得（b-2m）（b+2m-1）=0b=2m或b=-2m+1（舍）…（10分）
所以直線AB過定點（0，-2）…（12分）
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

精英家教網如圖，已知拋物線C：y2=2px（p＞0）的焦點為F，A是拋物線上橫坐標為4且位于x軸上方的點． A到拋物線準線的距離等于5，過A作AB垂直于y軸，垂足為B，OB的中點為M（O為坐標原點）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過M作MN⊥FA，垂足為N，求點N的坐標；
（Ⅲ）以M為圓心，4為半徑作圓M，點P（m，0）是x軸上的一個動點，試討論直線AP與圓M的位置關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2px（p＞0），F為拋物線C的焦點，A為拋物線C上的動點，過A作拋物線準線l的垂線，垂足為Q．
（1）若點P（0，4）與點F的連線恰好過點A，且∠PQF=90°，求拋物線方程；
（2）設點M（m，0）在x軸上，若要使∠MAF總為銳角，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=2Px（p＞0）上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）設直線y=kx+b（k≠0）與拋物線C交于兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且|y1-y2|=a（a＞0），求證：a2=
16(1-kb)k2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=4x，點M（m，0）在x軸的正半軸上，過M的直線l與C相交于A、B兩點，O為坐標原點．
（I）若m=1，且直線l的斜率為1，求以AB為直徑的圓的方程；
（II）問是否存在定點M，不論直線l繞點M如何轉動，使得
1
|AM|2
+
1
|BM|2
恒為定值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知拋物線C：y2=8x與點M（-2，2），過C的焦點，且斜率為k的直線與C交于A，B兩點，若
MA
•
MB
=0，則k=（　�。�

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