Question

已知函數(shù)f（x）=x²+（2a-1）x-alnx，g（x）=（a∈R）．
（1）a＜0時(shí)，求f（x）的極小值；
（2）若函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在x∈[1，3]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出其導(dǎo)函數(shù)以及導(dǎo)數(shù)為0的根，通過比較兩根的大小找到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出f（x）的極小值；
（2）把問題轉(zhuǎn)化為=0在x∈[1，3]上有兩個(gè)不同的根；再結(jié)合根的分布即可得到結(jié)論．
解答：解：（1）因?yàn)閒′（x）=2x+（2a-1）-=．
當(dāng)a＜-時(shí)，在（0，）以及（-a，+∞）上f′（x）＞0，
在（，-a）上，f′（x）＜0
所以：f（x）在（0，）上遞增；在（，-a）上遞減，在（-a，+∞）上遞增，
所以f（x）_極小值=f（-a）=-a²+a-aln（-a）．
當(dāng)a＞-時(shí)，同理可得f（x）在（0，-a）上遞），在（-a，）上遞減，在（，+∞）遞增，
所以：f（x）_極小值=f（）=a--aln2．
當(dāng)a=-時(shí)，f′（x）≥0恒成立，此時(shí)無極小值．
（2）函數(shù)y=f（x）與y=g（x）的圖象在x∈[1，3]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M，N，
即為f（x）=g（x）在x∈[1，3]上有兩個(gè)不同的根⇒=0在x∈[1，3]上有兩個(gè)不同的根．
令F（x）=x²+（2a-1）x+，要使函數(shù)在x∈[1，3]上有兩個(gè)不同的根，
須滿足⇒⇒-＜a＜-1．
故a的取值范圍是：-＜a＜-1．
點(diǎn)評(píng)：本題第一問考查利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值．在利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的極值時(shí)，分三步①求導(dǎo)函數(shù)，②求導(dǎo)函數(shù)為0的根，③判斷根左右兩側(cè)的符號(hào)，若左正右負(fù)，原函數(shù)取極大值；若左負(fù)右正，原函數(shù)取極小值．