Question

若雙曲線的焦點(diǎn)關(guān)于漸近線對(duì)稱的點(diǎn)恰在雙曲線上，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A．

  5

  5

• B．

  5

  2

• C．2
• D．

  5

Answer 1

分析：不妨設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，其右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于漸近線y=

b

a

x對(duì)稱的點(diǎn)在雙曲線上，解方程組可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入方程結(jié)合a²+b²=c²，解出

c

a

即得．

解答：解：不妨設(shè)雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，其右焦點(diǎn)F（c，0）關(guān)于漸近線y=

b

a

x對(duì)稱的點(diǎn)在雙曲線上．
過焦點(diǎn)F且垂直漸近線的直線方程為：y-0=-

a

b

（x-c），即y=-

a

b

（x-c），
聯(lián)立漸近線方程可得方程組

y= b a x y=- a b (x-c)

，解之可得

x= a2 c y= ab c

，
故對(duì)稱中心的點(diǎn)坐標(biāo)為（

a2

c

，

ab

c

），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（

2a2

c

-c，

2ab

c

），
將其代入雙曲線的方程可得

(2a2-c2)2

a2c2

-

4a2b2

b2c2

=1，結(jié)合a²+b²=c²，
化簡(jiǎn)可得c²=5a²，故可得e=

c

a

=

5

故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，涉及離心率的求解和對(duì)稱問題，屬中檔題．