Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）設(shè)bn=

an

2n

，求證數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令cn=

n(n+1)

an

，T_n=c₁+c₂+…+c_n，求證：T_n≥1（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，兩式作差變形可得，要注意n=1的情況．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知cn=

n(n+1)

an

=(n+1)(

1

2

)n，表示T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3++(n+1)(

1

2

)n觀察結(jié)構(gòu)，用錯位相減法求解．

解答：解：（Ⅰ）在S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹+2中，令n=1，可得S₁=2a₁-2²+2，即a₁=2
當(dāng)n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2ⁿ+2，則a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1-2ⁿ∴a_n=2a_n-1+2ⁿ，即

an

2n

=

an-1

2n-1

+1
∵bn=

an

2n

∴b_n=b_n-1+1，即當(dāng)n≥2時，b_n-b_n-1=1
又b1=

a1

2

=1∴數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列
于是b_n=1+（n-1）•1=n（n∈N^*），
從而a_n=2ⁿ•b_n=n•2ⁿ（n∈N^*）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得cn=

n(n+1)

an

=(n+1)(

1

2

)n，
所以T_n=2×

1

2

+3×(

1

2

)2+4×(

1

2

)3++(n+1)(

1

2

)n

1

2

Tn=2×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+4×(

1

2

)4++(n+1)(

1

2

)n+1
兩式相減得

1

2

Tn=1+(

1

2

)2+(

1

2

)3++(

1

2

)n-(n+1)(

1

2

)n+1
=1+

1 4 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（n+1）（

1

2

）ⁿ⁺¹=

3

2

-

n+3

2n+1

∴Tn=3-

n+3

2n

∵Tn+1-Tn=

n+3

2n

-

n+4

2n+1

=

n+2

2n+1

＞0
∴數(shù)列{T_n}是增數(shù)列故Tn≥T1=3-

4

2

=1，命題得證．

點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列的轉(zhuǎn)化與變形求通項(xiàng)公式及用錯位相減法求前n項(xiàng)和．