Question

橢圓

x2

5a

+

y2

2a2+2

=1的焦點(diǎn)在x軸上，則它的離心率e的取值范圍是

(0，

5

5

]

．

Answer 1

分析：由于橢圓

x2

5a

+

y2

2a2+2

=1的焦點(diǎn)在x軸上，可得5a＞2a²+2＞0，解得a的取值范圍．利用基本不等式即可得出

2a2+2

5a

=

2

5

(a+

1

a

)的取值范圍，令f（a）=

2a2+2

5a

，f（2）=1=f(

1

2

)，利用單調(diào)性可得f（a）的取值范圍，即可得出

1-f(a)

的取值范圍．進(jìn)而得到e=

1-f(a)

取值范圍．

解答：解：∵橢圓

x2

5a

+

y2

2a2+2

=1的焦點(diǎn)在x軸上，∴5a＞2a²+2＞0，解得

1

2

＜a＜2．
∴

2a2+2

5a

=

2

5

(a+

1

a

)≥

2

5

×2

a× 1 a

=

4

5

，當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)取等號(hào)．
令f（a）=

2a2+2

5a

，f（2）=1=f(

1

2

)，∴

4

5

≤f(a)＜1，
∴0＜1-f(a)≤

1

5

，0＜

1-f(a)

≤

5

5

．
∵e=

1-f(a)

，∴離心率e的取值范圍是(0，

5

5

]．
故答案為是(0，

5

5

]．

點(diǎn)評(píng)：本題中考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，屬于難題．