Question

已知數(shù)列{a_n}前n項和A_n=-

1

2

n²+kn（其中k∈N₊），且A_n的最大值為8；數(shù)列{b_n}的前n項和B_n=

n+2

3

b_n，且b₁=1．
（1）確定常數(shù)k，并求a_n；
（2）求數(shù)列{

bn

(9-2an)4n

}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n=k時A_n取得最大值為

1

2

k2=8，解得k=4；當(dāng)n≥2時，a_n=A_n-A_n-1，即可求a_n；
（2）利用錯位相減法求和．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}前n項和A_n=-

1

2

n²+kn（其中k∈N₊），且A_n的最大值為8，
又k∈N^*，所以當(dāng)n=k時A_n取得最大值為

1

2

k2=8，解得k=4，
當(dāng)n≥2時，a_n=A_n-A_n-1=（-

1

2

n²+4n）-[-

1

2

（n-1）²+4（n-1）]=-n+

9

2

，
當(dāng)n=1時，a₁=

7

2

，適合上式，
綜上，a_n=-n+

9

2

；
（2）b₁=1．
n＞1時，b_n=B_n-B_n-1=

n+2

3

b_n-

n+1

3

b_n，即b_n=

n+1

n-1

b_n-1，
利用疊乘法可得b_n=

n(n+1)

2

，
∴

bn

(9-2an)4n

=

n+1

4n+1

，
∴S_n=

2

42

+

3

43

+…+

n+1

4n+1

，
∴4S_n=

2

4

+

3

42

+…+

n+1

4n

，
兩式相減，整理可得S_n=

7

36

-

3n+7

36

•

1

4n

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項與求和，考查錯位相減法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．