Question

已知在直角坐標(biāo)系中，，其中數(shù)列{a_n}，{b_n}都是遞增數(shù)列．
（1）若a_n=2n+1，b_n=3n+1，判斷直線A₁B₁與A₂B₂是否平行；
（2）若數(shù)列{a_n}，{b_n}都是正項等差數(shù)列，設(shè)四邊形A_nB_nB_n+1A_n+1的面積為S_n（n∈N*），求證：{S_n}也是等差數(shù)列；
（3）若≥﹣12，記直線A_nB_n的斜率為k_n，數(shù)列{k_n}的前8項依次遞減，求滿足條件的數(shù)列{b_n}的個數(shù)．

Answer 1

（1）解：由題意A₁（3，0），B₁（0，4），A₂（5，0），B₂（0，7），
所以，
，
因為，所以A₁B₁與A₂B₂不平行．
（2）證明：因為{a_n}，{b_n}為等差數(shù)列，設(shè)它們的公差分別為d₁和d₂，
則a_n=a₁+（n﹣1）d₁，b_n=b₁+（n﹣1）d₂，a_n+1=a₁+nd₁，b_n+1=b₁+nd₂
由題意
所以[b1+（n﹣1）d2]}=，
所以，
所以S_n+1﹣S_n=d₁d2是與n無關(guān)的常數(shù)，
所以數(shù)列{S_n}是等差數(shù)列
（3）解：因為A_n（a_n，0），B_n（0，b_n），
所以=
又?jǐn)?shù)列{k_n}前8項依次遞減，
所以=＜0，
對1≤n≤7（n∈Z）成立，
即a_n﹣a+b＜0對1≤n≤7（n∈Z）成立．
又?jǐn)?shù)列{b_n}是遞增數(shù)列，所以a＞0，故只要n=7時，7a﹣a+b=6a+b＜0即可．
又b₁=a+b≥﹣12，聯(lián)立不等式作出可行域（如下圖所示），易得a=1或2，
當(dāng)a=1時，﹣13≤b＜﹣6即b=﹣13，﹣12，﹣11，﹣10，﹣9，﹣8，﹣7，有7個解；
當(dāng)a=2時，﹣14≤b＜﹣12，即b=﹣14，﹣13，有2個解，
所以數(shù)列{bn}共有9個．