Question

（08年西城區(qū)抽樣測試理）（14分）

數(shù)列中，， (為常數(shù)，) ，且

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）① 證明：；

② 猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；

（Ⅲ）比較與的大小，并加以證明.

Answer 1

解析：（Ⅰ）依題意，

由，得，

解得，或（舍去）.                                                ………….. 3分

（Ⅱ）解：

① 證明：因為，

當且僅當時，.

因為，所以，即  () .                      ………….. 5分

② 數(shù)列有極限，    ……….. 6分      且 .                      ………….. 7分                                        

（Ⅲ）解：

由，可得，

從而.

因為，所以

所以

………….. 9分

因為，由（Ⅱ）① 得   ().      

下面證明：對于任意，有成立.

當時，由，顯然結論成立.

假設結論對時成立，即

因為，且函數(shù)在時單調遞增，

所以.

即當時，結論也成立.       于是，當時，有成立.        

根據(jù)得 .                                                   ………….. 12分

由 及， 經(jīng)計算可得

所以，當時， ；      當時，；

當時，由，  得.

                                                                          ………….. 14分