Question

【題目】已知正項數列的首項，前n項和滿足．

（1）求數列的通項公式；

（2）若數列是公比為4的等比數列，且，，也是等比數列，若數列單調遞增，求實數的取值范圍；

（3）若數列、都是等比數列，且滿足，試證明: 數列中只存在三項．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）見解析

【解析】

(1)先根據和項與通項關系得項之間遞推關系，再根據等差數列定義以及通項公式得結果，(2)先根據條件解得，再根據數列單調性得恒成立，最后根據最值得結果， (3)先反設超過項，再通過方程組求解公比，通過矛盾否定假設，即得結果.

解：（1） ，故當時，

兩式做差得，

由為正項數列知，，即為等差數列，故

（2）由題意， ，化簡得 ，所以 ，

所以，

由題意知

恒成立，即恒成立，所以，解得

（3）不妨設超過項，令，由題意，則有，

即

帶入，可得 （*），

若則，即為常數數列，與條件矛盾;

若，令得，令得，兩式作商，可得，帶入（*）得，即為常數數列，與條件矛盾，故這樣的只有項.