Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=f（1），a_n+1=f（a_n）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₁，a₂的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設(shè)b_n=a_n•a_n+1，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，并比較S_n與．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)a₁=f（1），a_n+1=f（a_n），代入即可求得a₁，a₂的值；
（Ⅱ）取倒數(shù)法，證明數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，即可求得求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）先裂項求和，再分類討論，利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
解答：解：（Ⅰ）a₁=f（1）==，a₂=f（a₁）=f（）==；
（Ⅱ）∵，
∴
∴
∵a₁=，∴=3
∴數(shù)列是首項為3，公差為2的等差數(shù)列，
∴，
∴
（Ⅲ），
∴
n=1時，S₁=，=，S_n大于；
n=2時，S₂=，=，S_n大于，
n=3時，S₃=，=，S_n小于；
n=4時，S₄=，=，S_n大于；
猜想n≥4時，S_n大于；
證明如下：①n=4時，S₄=，=，S_n大于，結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即，∴2^k＞6k-9
n=k+1時，有2^k+1+18＞2（6k-9）+18＞6（k+1）+9，
∴，結(jié)論成立
由①②可知，結(jié)論成立．
點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項與求和，考查大小比較，確定數(shù)列的通項是關(guān)鍵．